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Wachstumsarten

Heute geht es um die verschiedenen Wachstumsarten, die uns in unserem Alltag begegnen. Es ist aus meiner Sicht wichtig sie zu kennen und zu differenzieren. Tatsächlich haben verschiedene Experimente gezeigt, dass die meisten Menschen nur linear denken können bzw. überproportionales Wachstum unterschätzen.
Auf folgende Wachstumsarten möchte ich in diesem Artikel eingehen:

  • proportionales Wachstum
  • lineares Wachstum
  • quadratisches Wachstum
  • exponentielles Wachstum
  • logarithmisches Wachstum
  • logistisches Wachstum

Eine ganze Menge, also legen wir am besten gleich los. Zum besseren Verständnis habe ich wieder eine Excel-Datei gebaut, in der Du die unterschiedlichen Wachstumsarten ausprobieren kannst. Auch die Screenshots aus diesem Artikel entstammen dieser Datei.


Proportionales und lineares Wachstum
Dies ist die Wachstumsform, die wohl jedem von uns klar ist: wenn sich mein Eingangswert x um eine Einheit vergrößert sich mein Ausgangswert y um einen festen Wert. Wenn ich zum Beispiel die Anzahl der verkauften Einheiten erhöhe, erhöht sich auch im gleichen Maß der Umsatz (vorausgesetzt ich verlange keine Grundgebühren und gewähre keine Mengenrabatte). Proportionale Verhältnisse können mit dem klassischen Dreisatz berechnet werden. Gibt es beim proportionalen Wachstum einen Anfangswert für den Eingangswert x = 0, handelt es sich um lineares Wachstum. Dies ist zum Beispiel bei einer Grundgebühr der Fall.

Quadratisches Wachstum

Beim quadratischen Wachstum wird der Eingangswert mit sich selbst multipliziert. Das bedeutet, dass der Ausgangswert y mit zunehmendem Eingangswert x immer schneller steigt. Ein Beispiel ist der Bremsweg eines PKWs in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit. In der Abbildung ist dieser Zusammenhang grafisch dargestellt.

Beispiel für quadratisches Wachstum: der Bremsweg (y) in Metern in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (x) in km/h

Exponentielles und logistisches Wachstum

Es gibt noch einer weitere Wachstumsart, bei der die Ausgangsgröße immer schneller ansteigt: exponentielles Wachstum. Ein Beispiel dafür ist der Zinseszinseffekt. In diesem Artikel habe ich mal gezeigt, welche jährlichen Renditen an der Börse sind. Allein diese Zahlen sind beeindruckend, aber besonders beeindruckend sind sie, wenn wir uns die Wirkung des Zinseszinseffektes bewusst machen.
Beispiel: wer sein Geld 20 Jahre lang an der Börse investiert, hat gute Chancen eine jährliche Rendite von 7 % zu erwirtschaften. Über die 20 Jahre entspricht dies einer Gesamtrendite von +287 %. Auf dieser Website findest Du einen gut gemachten Zinseszinsrechner, mit dem Du so etwas mal durchspielen kannst und weitere Effekte wie Steuern und monatliche Sparraten berücksichtigen kannst. Kommen wir nun zum logarithmischen Wachstum. Hiermit werden Prozesse modelliert, bei denen das Wachstum mit zunehmender Eingangsgröße x immer langsamer wird. In dem Screenshot unten findest Du ein Beispiel. Bitte beachtet, dass logarithmisches Wachstum nur ein Beispiel für degressives (immer langsameres) Wachstum ist. Ein weiteres Beispiel ist die Wurzelfunktion, auf die ich aber in diesem Artikel nicht näher eingehen möchte.

Ein Beispiel für logarithmisches Wachstum

Logistisches Wachstum

In unserem Alltag, vor allem in der Biologie, finden wir jedoch häufig Prozesse, die zunächst exponentiell ablaufen, jedoch auf eine Obergrenze eingeschränkt sind. Beispielsweise können Viren nicht immer weiter exponentiell wachsen, da sie irgendwann keinen Wirt mehr finden, der noch nicht von dem Virus infiziert ist. Die uns vertrauten Lebewesen wachsen im Hinblick auf ihre Körpergröße logistisch. Kinder wachsen so schnell, dass es gelegentlich zu Wachstumsschmerzen kommt, aber als Jugendliche haben sie ihre maximale Größe erreicht. In der unten stehenden Abbildung siehst Du ein Beispiel für logistisches Wachstum.


Modellierung von Wachstum mit Geogebra
Zum Schluss möchte ich Dir noch eine Software vorstellen, mit der Du Wachstumskurven sehr schön aus Rohdaten modellieren kannst: Geogebra. Dieses Programm bietet den Vorteil, dass Du gegebene Rohdaten direkt in eine Tabelle eintragen kannst und nur noch die Wachstumsart wählen muss, mir der Du die Daten beschreiben musst. Alle mathematischen Parameter werden von Geogebra so gewählt, dass Sie möglichst gut zu Deinen Rohdaten passen. Auch wenn Du näher in die mathematischen Hintergründe einsteige möchtest ist Geogebra ein nützliches Werkzeug. Das Programm kannst Du Dir an dieser Stelle kostenlos herunterladen. Ich arbeite derzeit mit Geogebra Classic 6. Auf Youtube findest Du zahlreiche Tutorials. Beispielsweise wird in diesem Video das logistische Wachstum mit Geogebra erklärt.